Pii
Varmasti yksi maailman tunnetuimmista matemaattisista vakioista on pii. Pii tunnetaan myös lempinimellään Arkhimedeen vakio ja sitä merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella. Määritelmänsä mukaan pii on yhtä suuri kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaansa. Pii on aina ympyrän kehän pituus, jos sen halkaisija on yksi. Ensimmäiset 5 desimaalia piistä ovat 3.1415.
Piin historiaa
Piin konsepti on todella vanha, vanhimmat siitä säilyneet tiedot vievät jopa muinaiseen Egyptiin asti. Piistä on muinaisen Egyptin aikojen lisäksi mainintoja jopa vanhassa testamentissa. Kuitenkin kaikki vanhat approksimaatiot piistä olivat hyvin epätarkkoja. Ensimmäinen piin olemassaolon todistanut matemaatikko oli Kreikkalainen Arkhimedes. Hän käytti todistuksessaan apuna suoria oksia ja muodosti niillä ympyrän sisälle ja ympärille monikulmioita. Täten hän sai selville, että niiden suhde (eli pii) oli jossain 3.13 ja 3.15 välillä.
Piin käyttö
Pii on yksi yleisimmistä ja käytetyimmistä matemaattisista vakioista. Sitä käytetään jatkuvasti niin peruskoulumatematiikassa, kuin vaikka teollisuustuotannossa. Piin vakio on ääretön ja nykyisin sen desimaaleja lasketaankin supertietokoneilla. Esimerkiksi Yhdysvaltojen avaruusjärjestö NASA käyttääkin piin vakiota esimerkiksi laskiessaan avaruusalusten lentoratoja. Piille on myös monia muita normaalin elämän sovelluksia, kuten ääniaaltojen jaksojen laskeminen. Poikittaiset ääniaallot ovat sinifunktion muotoisia ja ääniaallon yksi jakso on kaksi piitä. Piin vakio nähdään myös esimerkiksi siinä, miten jokivesi virtaa.
Kultainen leikkaus
Matematiikassa kultainen leikkaus saadaan, kun jana jaetaan ensin kahteen osaan, jos näistä kahdesta osasta toisen suhde pitempää janan puolikkaaseen on sama, toteutuu suhde. Lyhyesti sanottuna kultainen suhde on lyhyemmän osan suhde pidempään, suhde on näin jatkuva ja sen ”jakokierroksia” voidaan tehdä äärettömästi.
Kultaisen leikkauksen käyttö
Kuten pii, kultainen leikkaus on ollut jo antiikin ajoista lähtien keskeinen komponentti matematiikassa. Kultainen leikkaus on myös erittäin paljon käytetty arvo taiteissa ja estetiikassa. Se esiintyy luonnossakin hämmästyttävän paljon. Matematiikassa kultainen leikkaus voidaan muodostaa myös lukujonona.
Fibonaccin lukujono perustuu lähes täysin kultaiseen leikkaukseen. Siinä jonon edellinen jäsen lisätään aina seuraavaan, 5 ensimmäistä jäsentä sille on 0,1,1,2,3. Geometriassa kultainen leikkaus toteutuu, kun tasakylkisen kolmion kulmat ovat 36, 72 ja 72-astetta. Antiikin ajan arkkitehtuurissa kultainen leikkaus oli keskeisessä osassa. Ateenan Parthenon on tunnetuin esimerkki tästä, sen kattoharjat tehtiin noudattaen kultaista leikkausta.
Kultaisen leikkauksen käyttö nykyaikana
Nykyaikana kultaista leikkausta käytetään paljon taiteessa, taiteessa se on kuitenkin saanut paljon inspiraatiota luonnosta, jossa se myös esiintyy. Paras esimerkki kultaisesta leikkauksesta luonnossa on kotiloiden muoto. Myös matematiikassa kultaista leikkausta käytetään erilaisten avaruuskappaleiden muotojen käsittelyssä.
Neperin luku
Neperin luku (merkitään e) on integraalilaskennassa keskeisesti käytetty luku. Se on luonnollisen logaritmin kantaluku. Luvun keksijänä pidetään John Napieriä, mutta Neperin luvun todisti Charles Hermite vuonna 1873. Neperin luvun erityisominaisuus on se, että siitä otetun derivaatan tulos on luku itse. Kuvaajassa Neperin luku kuvastaa eksponentiaalista laskua eli se on tavallisen eksponenttiluvun vastatoimitus.
Neperin luvun historiaa
Neperin luvun todistuksesta teki vaikeaa sen, että sen täytyy olla samaan aikaan irrationaalinen ja transsendenttinen. Tämä tarkoittaa sitä, että Neperin lukua ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, tai se ei toteuta mitään kokonaiskertoimista yhtälöä. Charles Hermite onnistui tässä, kehittelemällä kaavan, joka toteutuu silloin, kun Neperin luvun eksponentin derivaatta lähestyy jotakin reaalilukua.